MA TRẬN KHẢ NGHỊCH LÀ GÌ

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp cho n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp cho n

Ta nhận ra ma trận bên trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa đk trên tất cả dạng sau:


*
" data-medium-file="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=173" data-large-file="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=173" class="size-full wp-image-1098" title="mtnd1" src="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=750" alt="Ma tr�n đơn vị cấp n" srcset="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd1.jpg 173w, https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=150 150w" sizes="(max-width: 173px) 100vw, 173px" />Ma trận đơn vị chức năng cấp n


Ngoài ra, ma trận đơn vị chức năng là duy nhất. Thật vậy, giả sử tất cả hai ma trận đơn vị chức năng I cùng I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị chức năng nên I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị chức năng nên I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một trong ma trận vuông cấp cho n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, trường hợp tồn trên một ma trận B vuông cung cấp n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B được hotline là ma trận nghịch đảo của ma trận A, cam kết hiệu A-1.

Bạn đang xem: Ma trận khả nghịch là gì

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 thừa nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là duy nhất, vì giả sử mãi mãi ma trận C vuông cung cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức thị A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Mặc dù nhiên, hiện tại, có nhiều giáo trình quốc tế đã đề cập mang lại khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thật vậy, cho A là ma trận cấp m x n trên trường số K. Lúc đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu như tồn tại ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải trường hợp tồn tại ma trận R cấp cho n x m sao cho: A.R = Im. Với khi đó, tất nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái với khả nghịch phải.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận ko không khả nghịch.

5. Tập hợp các ma trận vuông cấp cho n bên trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

1.4 các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:

*

Ta có: A.B = B.A = I2. Bởi vì đó: A, B là khả nghịch với A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vì với tất cả ma trận vuông cấp cho 2 ta các có:

*
Nhận xét: Ma trận có ít nhất 1 dòng không (hoặc cột không) phần lớn không khả nghịch.

Xem thêm: Chuyển Giới Là Gì - Bạn Biết Gì Về Giới Tính Và Chuyển Giới

2. Tính chất:

1. Trường hợp A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch cùng (AB)-1= B-1. A-1

2. Giả dụ A khả nghịch thì ATkhả nghịch cùng (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ chứng minh kết quả trên nhé)

3. Quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) ví như E thu được từ ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép đổi khác sơ cấp dòng (cột). Những ma trận sơ cấp cái hay cột gọi bình thường là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: những ma trận sơ cấp cái (hay cột) hồ hết khả nghịch cùng nghịch đảo của nó lại là 1 trong ma trận sơ cấp dòng.

Ta rất có thể kiểm tra trực tiếp hiệu quả trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cung cấp dạng 1: nhân 1 mẫu của ma trận đơn vị chức năng với α ≠ 0


*
" data-medium-file="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=300" data-large-file="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=542" class="size-full wp-image-1109" title="mtnd4" src="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cấp cho dạng 1" srcset="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd4.jpg 542w, https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=150 150w, https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 542px) 100vw, 542px" />Ma trận sơ cấp cho dạng 1


*
" data-medium-file="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300" data-large-file="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=524" class="size-full wp-image-1110" title="mtnd5" src="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cung cấp dạng 2" srcset="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd5.jpg 524w, https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=150 150w, https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 524px) 100vw, 524px" />Ma trận sơ cấp dạng 2


*
" data-medium-file="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300" data-large-file="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=326" class="size-full wp-image-1112" title="mtnd6" src="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cấp cho dạng 3" srcset="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd6.jpg 326w, https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=150 150w, https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 326px) 100vw, 326px" />Ma trận sơ cung cấp dạng 3


3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận ra từ A bởi một số hữu hạn những phép chuyển đổi sơ cấp loại (cột)

3. A là tích của một vài hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Bạn đọc có thể xem chứng minh định lý này vào ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n bên trên K (n ≥ 2). Lúc đó, các xác minh sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch khi còn chỉ khi dạng bao gồm tắc của A là In

2. Ví như A khả nghịch thì In nhận ra từ A bởi một trong những hữu hạn những phép thay đổi sơ cấp dòng (cột); đồng thời, bao gồm dãy những phép biến hóa sơ cấp loại (cột) này sẽ biến In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan search ma trận nghịch hòn đảo bằng phép thay đổi sơ cấp:

Ta thực hiện thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tìm nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp cho n bên trên K. Thuật toán này được thành lập dựa vào hiệu quả thứ 2 của hệ trái 3.4. Ta thực hiện công việc sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng phương pháp ghép thêm ma trận đơn vị chức năng cấp n I vào bên cần ma trận A


*
" data-medium-file="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300" data-large-file="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=333" class="size-full wp-image-1115" title="mtnd7" src="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=750" alt="L�p ma tr�n bỏ ra khối cung cấp n x 2n" srcset="https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd7.jpg 333w, https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=150 150w, https://goutcare-gbc.com.files.goutcare-gbc.com.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 333px) 100vw, 333px" />Lập ma trận bỏ ra khối cung cấp n x 2n


Bước 2: Dùng những phép biến đổi sơ cấp dòng để gửi < A|I > về dạng < A’ | B >, trong những số ấy A’ là một trong ma trận bậc thang thiết yếu tắc.

Xem thêm: Panel Nghĩa Là Gì ? Vật Liệu Xây Dựng Nhà Xưởng Giá Rẻ Nghĩa Của Từ Panel Trong Tiếng Việt

– ví như A’ = In thì A khả nghịch cùng A-1 = B

– giả dụ A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, trong vượt trình đổi khác nếu A’ lộ diện ít tốt nhất 1 dòng không thì lập tức kết luận A ko khả nghịch (không cần được đưa A’ về dạng thiết yếu tắc) và xong xuôi thuật toán.

Ví dụ minh họa: thực hiện thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tìm ma trận nghịch đảo của: